Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且Sn+an=

1

2

(n2+5n+2)（n∈N*）
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（I）直接利用已知的關(guān)系式，通過n=1，2，3，分別求a₁、a₂、a₃；    
（II）通過（I）猜想數(shù)列{a_n }的通項(xiàng)公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1，a₁=2…（1分）
當(dāng)n=2時(shí)，a₁+a₂+a₂=

1

2

（4+10+2），
∴a₂=3…（3分）
同理可得a₃=4…（5分）
（Ⅱ）猜想 a_n=n+1…（7分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
�。┊�(dāng)n=1時(shí)a₁=1+1=2，猜想成立          …（8分）
ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即a_k=k+1
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
∵Sk=

1

2

k2+

3

2

k，ak+1+Sk+1=

1

2

[(k+1)2+5(k+1)+2]
∴ak+1+ak+1+Sk=

1

2

k2+

7

2

k+4
∴2ak+1=

1

2

k2+

7

2

k+4-(

1

2

k2+

3

2

k)
解得 a_k+1=（k+1）+1
即n=k+1時(shí)猜想成立       …（12分）
綜上�。�ⅱ）a_n=n+1對一切n∈N⁺都成立． …（13分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的證明猜想證明方法，數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，證明中用上假設(shè)是證明的關(guān)鍵．