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已知點P_n（a_n，b_n）滿足an+1=anbn+1，

bn+1

bn

=

1

1-4 a 2 n

(n∈N*)，且P₁點的坐標是（1，-1）．
（Ⅰ）求過P₁，P₂兩點的直線l的方程，并證明點 P_n在直線l上；
（Ⅱ）求使不等式(1+a1)2(1+a2)2•…•(1+an)2≥

λ

b2b3•…•bnbn+1

對所有n∈N^*成立的最大實數(shù)λ．

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（3）設b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

已知函數(shù)f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）數(shù)列a_n滿足：a₁=1，a_n+1=f'（a_n），求數(shù)列a_n的通項公式；
（Ⅱ）已知數(shù)列b_n滿足b₁=t＞0，b_n+1=f（b_n）（n∈N*），求數(shù)列b_n的通項公式；
（Ⅲ）設cn=

bn+1

bn+1

，數(shù)列{cn}的前n項和為S_n，若不等式λ＜S_n對所有的正整數(shù)n恒成立，求λ的取值范圍．

對于數(shù)列a_n，（1）已知a_n是一個公差不為零的等差數(shù)列，a₅=6．
①當a₃=2時，若自然數(shù)n₁，n₂，…，n_t，…滿足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…，且a₃，a₅，a_n1，a_n2，…，a_nt，…是等比數(shù)列，試用t表示n_t；
②若存在自然數(shù)n₁，n₂，…，n_t，…滿足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…，且a₃，a₅，a_n1，a_n2，…，a_nt，…構成一個等比數(shù)列．求證：當a₃是整數(shù)時，a₃必為12的正約數(shù)．
（2）若數(shù)列a_n滿足a_n+1a_n+3a_n+1+a_n+4=0，且a₂₀₀₉小于數(shù)列a_n中的其他任何一項，求a₁的取值范圍．

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對一切n∈N*，點（n，

Sn

n

）都在函數(shù)f（x）=x+

an

2x

的圖象上．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，猜想a_n的表達式，并證明你的猜想．
（2）設A_n為數(shù)列{

an-1

an

}的前n項積，是否存在實數(shù)a，使得不等式A_n

an+1

＜f(a)-

an+3

2a

對一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范圍，若不存在，說明理由．

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=n²，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，且b_n=2b_n-1+1，n≥2．
（1）求a_n，b_n的表達式；
（2）設c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

設數(shù)列x_n滿足log₂x_n+1=1+log₂x_n（n∈N^*），且x₁+x₂+…+x₁₀=10，記x_n的前n項和為S_n，則S₂₀=．

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n²=a_n-1a_n+1（n∈N^*，n≥2），若

1

a4

+

1

a5

+

1

a6

=1，a₄a₆=4，則a₄+a₅+a₆=．

在等比數(shù)列a_n中，若a₂，a₈是方程3x²-11x+6=0的兩根，則log₂（a₁a₂…a₉）=．

在等比數(shù)列{a_n}中，若a₁a₂a₃=2，a₂a₃a₄=16，則公比q=