Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（3）設(shè)b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，a_n+1=2s_n，分別令n=1，2，3求出a₂，a₃，a₄的值；
（2）由a_n+1=2s_n及an=

s1      n=1 sn-sn-1 n≥2

求得a_n，
（3）把（2）求得a_n代入中b_n，應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和．

解答：解：（1）∵a₁=1，
∴a₂=2a₁=2，a₃=2S₂=6，a₄=2S₃=18，
（2）∵a_n+1=2S₁，∴a_N=2S_n-1（n≥2），
∴a_n+1-a_n=2a_n，

an+1

an

=3（n≥2）
又

a2

a1

=2，∴數(shù)列{a_n}自第2項(xiàng)起是公比為3的等比數(shù)列，
∴an=

1(n=1) 2×3n-2(n≥2)

，

（3）∵b_n=na_n，∴bn=

1(n=1) 2n×3n-2(n≥2)

，
∴T_n=1+2×2×3⁰+2×3×3¹+2×4×3²++2×n×3^n-2，…①
3T_n=3+2×2×3¹+2×3×3²+2×4×3³++2×n×3^n-1…②（12分）
①-②得-2T_n=-2+2×2×3⁰+2×3¹+2×3²++2×3^n-2-2×n×3^n-1
=2+2（3+3²+3³++3^n-2）-2n×3^n-1=（1-2n）×3^n-1-1
∴Tn=(n-

1

2

)×3n-1+

1

2

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：由數(shù)列前n 項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)，一定注意n=1的情況，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想；屬中檔題．