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4．（1）已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）和橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的2倍，求雙曲線的方程．
（2）已知點P（6，8）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩焦點，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0．試求橢圓的方程．

3．如圖，過雙曲線上左支一點A作兩條相互垂直的直線分別過兩焦點，其中一條與雙曲線交于點B，若（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{A{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=0，則雙曲線的離心率為（　�。�

A．

$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$

B．

$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$

C．

$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$

D．

$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$

2．如圖在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求證：平面AA₁C₁C⊥平面A₁BD
（2）求直線A₁B與平面A₁B₁CD所成的角．

1．點P在曲線y=-e^-x上，點Q在曲線y=lnx上，線段PQ的中點為M，O是坐標原點，則線段OM的長的最小值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

20．在平面直角坐標系中，圓心坐標均為（2，2）的圓Ⅰ、圓Ⅱ、圓Ⅲ半徑分別為4，2，1，直線y=$\frac{3}{4}$x+3與圓Ⅰ交于點A，B，點C在圓Ⅰ上，滿足線段CA和線段CB與圓Ⅱ均有公共點，點P是圓Ⅲ上任意一點，則△APB與△APC面積之比的最大值為$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

19．已知x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-1≥0}\\{3x-y≤0}\end{array}\right.$，則目標函數(shù)z=2x-y的最小值為-1．

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（1-x）+1，-1≤x≤k}\\{x（x-1）^{2}，k≤x≤a}\end{array}\right.$．若存在k使得函數(shù)f（x）的值域為[0，2]，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

A．

[1，2]

B．

（1，2]

C．

（$\frac{1}{2}$，2]

D．

[$\frac{1}{2}$，2]

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+lnx，其中a＞0．
（Ⅰ）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線的方程；
（Ⅱ）當a≠1時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）若a∈（0，$\frac{1}{2}$），證明對任意x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，1]（x₁≠x₂），$\frac{|f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）|}{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}$＜$\frac{1}{2}$恒成立．

16．已知f（x）=$\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{3}）-2{cos^2}x+\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊，且a=1，b+c=2，f（A）=1，求△ABC的面積．

15．已知a，b都是正實數(shù)，且滿足log₉（9a+b）=log₃$\sqrt{ab}$，則3a+b的最小值為12+6$\sqrt{3}$．