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某港灣的平面示意圖如圖所示，O，A，B分別是海岸線l₁，l₂上的三個(gè)集鎮(zhèn)，A位于O的正南方向6km處，B位于O的北偏東60°方向10km處．
（Ⅰ）求集鎮(zhèn)A，B間的距離；
（Ⅱ）隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，為緩解集鎮(zhèn)O的交通壓力，擬在海岸線l₁，l₂上分別修建碼頭M，N，開(kāi)辟水上航線．勘測(cè)時(shí)發(fā)現(xiàn)：以O(shè)為圓心，3km為半徑的扇形區(qū)域?yàn)闇\水區(qū)，不適宜船只航行．請(qǐng)確定碼頭M，N的位置，使得M，N之間的直線航線最短．

已知曲線C：x²=4y．
（1）若點(diǎn)P是直線y=2x-5上任意一點(diǎn)，過(guò)P作C的兩條切線PE，PF，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，M為EF的中點(diǎn)，求證：PM⊥x軸
（2）在（1）的條件下，直線EF是否恒過(guò)一定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)；若不是，說(shuō)明理由．

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=4，底面ABCD為直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=

2

，M，N分別為PD，PB的中點(diǎn)，平面MCN與PA交點(diǎn)為Q．
（Ⅰ）求PQ的長(zhǎng)度；
（Ⅱ）求截面MCN與底面ABCD所成二面角的正弦值；
（Ⅲ）求點(diǎn)A到平面MCN的距離．

某音樂(lè)噴泉噴射的水珠呈拋物線形，它在每分鐘內(nèi)隨時(shí)間t（秒）的變化規(guī)律大致可用y=-（1+4sin²

tπ

60

）x²+20（sin

tπ

60

）x（t為時(shí)間參數(shù)，x的單位：m）來(lái)描述，其中地面可作為x軸所在平面，泉眼為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于地面的直線為y軸．
（1）試求此噴泉噴射的圓形范圍的半徑最大值；
（2）若在一建筑物前計(jì)劃修建一個(gè)矩形花壇并在花壇內(nèi)裝置兩個(gè)這樣的噴泉，則如何設(shè)計(jì)花壇的尺寸和兩個(gè)噴水器的位置，才能使花壇的面積最大且能全部噴到水？

已知函數(shù)f（x）=

ex-1

ex+1

（1）試判斷該函數(shù)的奇偶性，并加以證明；
（2）當(dāng)f（x）＜a恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

某單位從一所學(xué)校招收某類特殊人才．對(duì)20位已經(jīng)選拔入圍的學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力和邏輯思維能力的測(cè)試，其測(cè)試結(jié)果如下表：

邏輯思維能力 運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力	一般	良好	優(yōu)秀
一般	2	2	1
良好	4	b	1
優(yōu)秀	1	3	a

例如表中運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力良好且邏輯思維能力一般的學(xué)生是4人．由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這20位參加測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為

1

5

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）從運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力為優(yōu)秀的學(xué)生中任意抽取2位，求其中至少有一位邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率．

甲、乙兩容器中分別盛有兩種濃度的某種溶液300mL，從甲容器中取出100mL溶液，將其倒入乙容器中攪勻，再?gòu)囊胰萜髦腥〕?00mL溶液，將其倒入甲容器中攪勻，這稱為是一次調(diào)和，已知第一次調(diào)和后，甲、乙兩種溶液的濃度分別記為：a₁=20%，b₁=2%，第n次調(diào)和后的甲、乙兩種溶液的濃度分別記為：a_n，b_n．
（Ⅰ）請(qǐng)用a_n，b_n分別表示a_n+1和b_n+1；
（Ⅱ）問(wèn)經(jīng)過(guò)多少次調(diào)和后，甲乙兩容器中溶液的濃度之差小于0.1%．

已知函數(shù)f(x)=

x

ex

(x∈R)，g(x)=

(2-x)ex

e2

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）求證：當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)y=g（x）的圖象恒在函數(shù)y=f（x）的圖象下方；
（Ⅲ）若k＞0，求不等式f′（x）-k（1-x）f（x）＜0的解集．

設(shè)向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），其中0＜β＜α＜π．
（1）若

a

⊥

b

，求| 

a

+

3

b

 |的值；
（2）設(shè)向量

c

=(0，

3

)，且

a

+

b

=

c

，求α，β的值．

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且過(guò)點(diǎn)（

3

，

1

2

）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+t 與圓C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于點(diǎn)A，且l與橢圓E只有一個(gè)公共點(diǎn)B．
①求證：k²=

R2-1

4-R2

；
②當(dāng)R為何值時(shí)，丨AB丨取得最大值？并求出最大值．