Question

設(shè)向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），其中0＜β＜α＜π．
（1）若

a

⊥

b

，求| 

a

+

3

b

 |的值；
（2）設(shè)向量

c

=(0，

3

)，且

a

+

b

=

c

，求α，β的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)即可得出；
（2）利用向量相等和誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），
∴|

a

|=1，|

b

|=1． 
∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0．
于是|

a

+

3

b

|=

a 2+3 b 2+2 3 a • b

=

12+3×12

=2．
故| 

a

+

3

b

 |=2．
（2）∵

a

+

b

=(cosα+cosβ ， sinα+sinβ)=(0 ，  

3

)，
∴

cosα+cosβ=0  sinα+sinβ= 3

，
由此得cosα=cos（π-β），
由0＜β＜π，得0＜π-β＜π，
又0＜α＜π，故α=π-β． 
代入sinα+sinβ=

3

，得sinα=sinβ=

3

2

．
而0＜β＜α＜π，∴α=

2π

3

，  β=

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量相等和誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題．