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已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足：a₁=a(a≠0)，a_n+1=rS_n(n∈N*，r∈R，r≠-1)，
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)若存在k∈N*，使得S_k+1，S_k，S_k+2成等差數列，試判斷：對于任意的m∈N*，且m≥2，a_m+1，a_m，a_m+2是否成等差數列，并證明你的結論．

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=a，S_n+1=2S_n+n+1，n∈N*。
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）當a=1時，若設數列{b_n}的前n項和為T_n，n∈N*，證明：T_n＜2。

已知數列{a_n}，{b_n}滿足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，設數列{b_n}的前n項和為S_n，令T_n=S_2n-S_n。
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）求證：T_n+1>T_n（n∈N*）。

已知數列{a_n}，{b_n}滿足b_n=a_n+1-a_n，其中n=1，2，3，…
(1)若a₁=1，b_n=n，求數列{a_n}的通項公式；
(2)若b_n+1b_n-1=b_n(n≥2)，且b₁=1，b₂=2，
①記c_n=a_6n-1(n≥1)，求證：數列{c_n}為等差數列；
②若數列中任意一項的值均未在該數列中重復出現(xiàn)無數次，求首項a₁應滿足的條件。

已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數，對于任意的x，y∈R，都有f(x·y)= xf(y)+yf(x)成立。數列{a_n}滿足a_n=f(2ⁿ)(n∈N*)，且a₁=2，則數列的通項公式為a_n=（    ）。

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²-4n+4，
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)設b_n=，數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：≤T_n＜1。

已知數列{a_n}中，a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0(n≥2，n∈N)，
(1)寫出a₂，a₃的值(只寫結果)并求出數列{a_n}的通項公式；
(2)設，若對任意的正整數n，當m∈[-1，1]時，不等式t²-2mt+＞b_n恒成立，求實數t的取值范圍。

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，若S₁=1，S₂=2，且S_n+1-3S_n+2S_n-1=0（n∈N*且n≥2），求該數列的通項公式。

設數列{a_n}的首項a₁∈（0，1），a_n=，n=2，3，4，…
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=a_n，證明b_n＜b_n+1，其中n為正整數。

某國采用養(yǎng)老儲備金制度，公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金，數目為a₁，以后每年交納的數目均比上一年增加d（d>0），因此，歷年所交納的儲務金數目a₁，a₂，…是一個公差為d的等差數列，與此同時，國家給予優(yōu)惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復利。這就是說，如果固定年利率為r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)閍₁（1+r）^a-1，第二年所交納的儲備金就變?yōu)閍₂（1+r）^a-2，……，以T_n表示到第n年末所累計的儲備金總額。
（1）寫出T_n與T_n-1（n≥2）的遞推關系式；
（2）求證：T_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一個等比數列，{B_n}是一個等差數列。