Question

已知數列{a_n}，{b_n}滿足b_n=a_n+1-a_n，其中n=1，2，3，…
(1)若a₁=1，b_n=n，求數列{a_n}的通項公式；
(2)若b_n+1b_n-1=b_n(n≥2)，且b₁=1，b₂=2，
①記c_n=a_6n-1(n≥1)，求證：數列{c_n}為等差數列；
②若數列中任意一項的值均未在該數列中重復出現無數次，求首項a₁應滿足的條件。

Answer 1

解：(1)當n≥2時，


，
又因為a₁=1也滿足上式，
所以數列{a_n}的通項公式為。
(2)①因為對任意的n∈N*，可得b_n，
即數列{b_n}各項的值重復出現，周期為6．
數列{b_n}的前6項分別為1，2，2，1，，
所以

，
所以數列{c_n}為等差數列。
②設(k≥0)(其中i為常數且i∈{1，2，3，4，5，6})，
所以
，
所以數列(k∈N，i∈{1，2，3，4，5，6})均為以7為公差的等差數列，
設(其中n=6k+i(k≥0)，i∈{1，2，3 ，4，5 ，6})，
當時，對任意的n=6k+i有；
當時，

，
若，則對任意的k∈N有，所以數列為單調減數列；
若，則對任意的k∈N有，所以數列為單調增數列；
綜上：設集合，
當a₁∈B時，數列中必有某數重復出現無數次；
當a₁B時，(i=1，2，3，4，5，6)均為單調數列，任意一個數在這6個數列中最多出現一次，
所以數列中任意一項的值均未在該數列中重復出現無數次，
故所求a₁應滿足的條件為。