Question

20．已知變量x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥2}\\{x+y≤a}\end{array}\right.$，且z=x+ay的最大值為16，則實數(shù)a=（　　）

• A． -5或6
• B． 5或-6
• C． -6
• D． 6

Answer 1

分析 分a＞0和a＜0作出可行域，然后化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，可知a＜0時可行域中不存在使目標函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解，當a＞0時，數(shù)形結合求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)求得a值．

解答 解：由題意可知，a≠0，
若a＞0，由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥2}\\{x+y≤a}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=2}\\{x+y=a}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{a+2}{2}，\frac{a-2}{2}$），
化目標函數(shù)z=x+ay為$y=-\frac{x}{a}+\frac{z}{a}$，由圖可知，當直線過A時z有最大值等于$\frac{a+2}{2}+\frac{{a}^{2}-2a}{2}=\frac{{a}^{2}-a=2}{2}=16$，解得a=6；
若a＜0，由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥2}\\{x+y≤a}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

化目標函數(shù)z=x+ay為$y=-\frac{x}{a}+\frac{z}{a}$，由圖可知，使目標函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解不存在．
綜上，a=6．
故選：D．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．