Question

已知x為任意實(shí)數(shù)，則

3	x

+

3	1-x

 的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)

3	x

=a，

3	1-x

=b，則

3	x

+

3	1-x

=t，利用a+b=t；ab=ab=

t3-1

3t

，構(gòu)造方程y²-ty+

t3-1

3t

=0，尋求方程有解的條件，從而求得函數(shù)的值域．

解答：解：設(shè)

3	x

=a，

3	1-x

=b，則

3	x

+

3	1-x

=t，
則有

a+b=t a3+b3=1

將第一式3次方后得a³+b³+3ab（a+b）=t³，
∴ab=

t3-1

3t

，這樣a、b是關(guān)于y的方程y²-ty+

t3-1

3t

=0的兩根，
其判別式△=t²-4×

t3-1

3t

≥0，
∵t＞0，
∴t³-4≤0，即0＜t≤

3	4

．
∴只要0＜t≤

3	4

時(shí)，原方程有解．
綜上所述，

3	x

+

3	1-x

的取值范圍是（0，

3	4

]．
故答案是（0，

3	4

]．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)值域的求法，考查了學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算能力，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造方程，尋求方程有解的條件，從而求得函數(shù)的值域．