Question

18．下列敘述正確的是①②．
①$\overrightarrow{PG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$?G為△ABC的重心，．
②$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}?P$為△ABC的垂心；
③$|\overrightarrow{AB}|\overrightarrow{PC}+|\overrightarrow{BC}|\overrightarrow{PA}+|\overrightarrow{CA}|\overrightarrow{PB}=\overrightarrow 0?P$為△ABC的外心；
④$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）•\overrightarrow{AB}=（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）•\overrightarrow{BC}=（\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}）•\overrightarrow{CA}=0$?O為△ABC的內(nèi)心．

Answer 1

分析 ①由G為△ABC的重心，得$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$利用向量減法展開(kāi)后可得$\overrightarrow{PG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$；
②由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$，移向變形整理可得$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{PB}=0$，即AC⊥PB，同理可得AB⊥PC，BC⊥PA；
③把已知等式利用斜率加法變形，可得P必然落在角的角平分線上；
④由已知向量等式可得$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|$．

解答 解：①G為△ABC的重心?$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$?$\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{0}$?$\overrightarrow{PG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$，①正確；
②由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$?$（\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PC}）•\overrightarrow{PB}=0$?$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{PB}=0$?AC⊥PB，同理AB⊥PC，BC⊥PA，②正確；
③$|\overrightarrow{AB}|\overrightarrow{PC}+|\overrightarrow{BC}|\overrightarrow{PA}+|\overrightarrow{CA}|\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$?$|\overrightarrow{AB}|\overrightarrow{PC}+|\overrightarrow{BC}|（\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CA}）+|\overrightarrow{CA}|（\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CB}）$=$\overrightarrow{0}$
?（$|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}|+|\overrightarrow{CA}|$）$\overrightarrow{PC}$+|$\overrightarrow{BC}$|$\overrightarrow{CA}$+|$\overrightarrow{CA}$|$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{0}$．
∵$||\overrightarrow{BC}|\overrightarrow{CA}|=||\overrightarrow{CA}|\overrightarrow{CB}|$，∴$|\overrightarrow{BC}|\overrightarrow{CA}+|\overrightarrow{CA}|\overrightarrow{CB}$與角C的平分線平行，∴P必然落在角C的角平分線上，③錯(cuò)誤；
④$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）•\overrightarrow{AB}=（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）•\overrightarrow{BC}=（\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}）•\overrightarrow{CA}=0$$?|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{OC}}|?\overrightarrow{O{A^2}}=\overrightarrow{O{B^2}}=\overrightarrow{O{C^2}}?$O為△ABC的外心，④錯(cuò)誤．
∴正確的敘述是①②．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量等式進(jìn)行變形，向量的模，向量的線性表示，共線平行，三角形的外心、內(nèi)心、重心和垂線．重點(diǎn)考查向量等式的變形能力．是中檔題．