Question

20．已知a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}，n為偶數(shù)}\\{n，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n ．

Answer 1

分析 當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，S_n=S_2k=[1+3+…+（2k-1）]+（2²+2⁴+…+2^2k），利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，S_2k-1=S_2k-a_2k．即可得出．

解答 解：當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，S_n=S_2k=[1+3+…+（2k-1）]+（2²+2⁴+…+2^2k）
=$\frac{k（1+2k-1）}{2}$+$\frac{4（{4}^{k}-1）}{4-1}$
=k²+$\frac{{4}^{k+1}-4}{3}$，
=$\frac{{n}^{2}}{4}$+$\frac{{2}^{n+2}-4}{3}$．
當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，S_2k-1=S_2k-a_2k=$\frac{{n}^{2}}{4}$+$\frac{{2}^{n+2}-4}{3}$-2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．