Question

3．已知函數(shù)f（x）=-x²+x，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≤a}\\{f（x-1）-1，x＞a}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程g（x）=t對任意的t＜$\frac{1}{4}$都恰有兩個不同的解，則實數(shù)a的取值集合是{$\frac{3}{2}$}．

Answer 1

分析 求出g（x）的解析式，畫出圖象，討論a＞$\frac{3}{2}$時，a＜$\frac{3}{2}$時，a=$\frac{3}{2}$時，分段函數(shù)的圖象的特點，根據(jù)題意結(jié)合圖象即可得到所求a的取值集合．

解答 解：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{2}，x≤a}\\{（x-1）-（x-1）^{2}-1，x＞a}\end{array}\right.$
=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{2}，x≤a}\\{3x-3-{x}^{2}，x＞a}\end{array}\right.$，
作出g（x）的圖象，
當(dāng)x≤a時，g（x）的對稱軸x=$\frac{1}{2}$，頂點為（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$）．
當(dāng)x＞a時，g（x）的對稱軸為x=$\frac{3}{2}$，
由（a-1）-（a-1）²-1=a-a²，解得a=$\frac{3}{2}$．
當(dāng)a＞$\frac{3}{2}$時，x＞a時，函數(shù)遞減，x≤a，g（x）不單調(diào)，
x=a時，（a-1）-（a-1）²-1＞a-a²，
關(guān)于x的方程g（x）=t對任意的t＜$\frac{1}{4}$不都有兩個不同的解；
當(dāng)a＜$\frac{3}{2}$時，x＞a和x≤a中，g（x）總有一個不單調(diào)，
且x=a時，（a-1）-（a-1）²-1＜a-a²，
關(guān)于x的方程g（x）=t對任意的t＜$\frac{1}{4}$不都有兩個不同的解；
故只有a=$\frac{3}{2}$時，關(guān)于x的方程g（x）=t對任意的t＜$\frac{1}{4}$恰有兩個不同的解．
故答案為：{$\frac{3}{2}$}．

點評 本題考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)的性質(zhì)的運用，考查分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．