Question

5．若函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;2{\;^x}-a\;，\;\;\;\;\;\;\;\;\;x≤1\;，\;\;\\（{x-a}）（{x-3a}）\;，\;\;\;\;x＞1\end{array}\right.$恰有兩個零點，則實數a的取值范圍是$（{\frac{1}{3}，\;\;1}]∪（{2，\;\;+∞}）$．

Answer 1

分析 ①當a≤0時，f（x）＞0恒成立，②當a＞0時，由2^x-a=0討論，再由f（x）=（x-a）（x-2a）討論，從而確定方程的根的個數．

解答 解：①當a≤0時，f（x）＞0恒成立，
故函數f（x）沒有零點；
②當a＞0時，2^x-a=0，
解得，x=log₂a，又∵x＜1；
∴當a∈（0，2）時，log₂a＜1，
故2^x-a=0有解x=log₂a；
當a∈（2，+∞）時，log₂a≥1，
故2^x-a=0在（-∞，1）上無解；
∵（x-a）（x-3a），
∴當a∈（0，$\frac{1}{3}$]時，
方程（x-a）（x-3a）=0在（1，+∞）上無解；
當a∈（$\frac{1}{3}$，1]時，
方程（x-a）（x-3a）=0在（1，+∞）上有且僅有一個解；
當a∈（1，+∞）時，
方程（x-a）（x-3a）=0在（1，+∞）上有且僅有兩個解；
綜上所述，當a∈（$\frac{1}{3}$，1]或a∈（2，+∞）時，函數f（x）恰有2個零點，
故答案為：$（{\frac{1}{3}，\;\;1}]∪（{2，\;\;+∞}）$

點評 本題考查了分段函數的性質的應用及分類討論的思想應用．