Question

7．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足，對于任意的x＞0，y＞0，都有f（xy）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞1時，f（x）＞0．
（1）求f（1）、的值；
（2）證明f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）若f（2）=1，解關(guān)于x的不等式f（x）+f（x-3）＞2．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法進行求f（1）的值；      
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明．
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解不等式即可．

解答 解：（3）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
（2）f（x）在（0，+∞）上的是增函數(shù)，
設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，則$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞1$，
∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，
∴$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=f（{x}_{2}?\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）-f（{x}_{2}）$=$f（{x}_{2}）+f（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）-f（{x}_{2}）=f（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）＞0$，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上的是增函數(shù)．
（3）若f（2）=1，則f（2）+f（2）=f（2×2）=2，
即f（4）=2，
則解關(guān)于x的不等式f（x）+f（x-3）＞2．
等價為f（x）+f（x-3）＞f（4），
即f[x（x-3）]＞f（4），
∵f（x）在（0，+∞）上的是增函數(shù)．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-3＞0}\\{x（x-3）＞4}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞3}\\{{x}^{2}-3x-4＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞3}\\{x＞4或x＜-1}\end{array}\right.$，
即x＞4，
即不等式的解集為（4，+∞）

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，以及抽象函數(shù)的求值，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義和單調(diào)性的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運算能力．