Question

1．已知O為坐標原點，點P（2，2），圓C：x²+y²-8y=0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點．
（1）求線段AB的最短長度；
（2）若線段AB的中點為M，求M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）當弦AB長度最短時，AB⊥MC，即可求弦AB的長度；
（2）由題設知$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，即可求M的軌跡方程．

解答 解：（1）圓C的方程可化為x²+（y-4）²=16，所以圓心為C（0，4），半徑為4．
當AB⊥MC時弦AB最短，此時AB=4$\sqrt{2}$；
（2）設M（x，y），則$\overrightarrow{CM}$=（x-4，y），$\overrightarrow{MP}$=（2-x，2-y），
由題設知$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，
故（x-4）（2-x）+y（2-y）=0，
即（x-3）²+（y-1）²=2．
由于點P在圓C的內部，
所以M的軌跡方程是（x-3）²+（y-1）²=2．

點評 本題考查直線和圓的方程的應用，考查軌跡方程，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．