Question

已知函數(shù)f(x)=

ex，x≥0 -3x，x＜0

，則關(guān)于x的方程f（f（x））+m=0給出下列四個(gè)命題，正確的個(gè)數(shù)是（　�。�
①存在實(shí)數(shù)m，使方程恰有1個(gè)實(shí)數(shù)根；
②存在實(shí)數(shù)m，使方程恰有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
③存在實(shí)數(shù)m，使方程恰有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
④存在實(shí)數(shù)m，使方程恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)g（x）=f（f（x）），根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，求出g（x）的表達(dá)式，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f(x)=

ex，x≥0 -3x，x＜0

，∴f（x）＞0，
設(shè)g（x）=f（f（x）），
當(dāng)x≥0，f（x）=e^x≥1，g（x）=f（f（x））=eex，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的性質(zhì)可得g（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，且g（x）≥g（0）=e，
當(dāng)x＜0，f（x）=-3x＞0，g（x）=f（f（x））=e^-3x=(

1

e3

)x，g（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，且g（x）＞1，
即g（x）=

eex， x≥0 ( 1 e3 )x， x＜0

，
作出函數(shù)g（x）的草圖如圖：
由f（f（x））+m=0得f（f（x））=-m，
即g（x）=-m，
由圖象可知，當(dāng)-m≥e，即m≤-e時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)方程f（f（x））+m=0有2個(gè)不同的根，
當(dāng)1＜-m＜e，即-e＜m＜-1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有1個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)方程f（f（x））+m=0有1個(gè)根，
當(dāng)-m≤1，即m≥-1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，此時(shí)方程f（f（x））+m=0有0個(gè)根，
故①②正確，③④錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的問題，利用分段函數(shù)求出函數(shù)的表達(dá)式畫出圖象是解題的關(guān)鍵．