Question

已知圓，是否存在斜率為的直線，使以被圓截得的弦為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解析：法1.假設(shè)存在斜率為的直線，滿足題意，則OA⊥OB.

設(shè)直線的方程是，其與圓的交點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，

則，[   即.                      ①           

由消去得，，

∴，，                      ②

．                   ③

把②③式代入①式，得，解得或，

而或都使得成立．

故存在直線滿足題意，其方程為或

法2. 圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程為， 半徑

假設(shè)存在以為直徑的圓的圓心為，

則直線的方程是，即，則

，，即     ①

且     ，

∵以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，∴ ，

所以              ②

把①代入②得，，∴或，

當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)直線的方程為；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線的方程為；
故這樣的直線是存在的，方程為或