Question

14．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+4coxθ\\ y=4+4sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=4sinθ．
（1）把C₁的參數(shù)方程化為極坐標方程；
（2）求C₁與C₂交點所在直線的極坐標方程．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x=3+4coxθ\\ y=4+4sinθ\end{array}\right.$消去θ，得C₁的直角坐標方程，再將x=ρcosφ，y=ρsinφ代入能求出C₁的極坐標方程．
（2）先求出C₂的直角坐標方程，和C₁的直角坐標方程聯(lián)立，求出C₁、C₂的交點所在直線方程，由此能求出其極坐標方程．

解答 （1）解：∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+4coxθ\\ y=4+4sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴由$\left\{\begin{array}{l}x=3+4coxθ\\ y=4+4sinθ\end{array}\right.$消去θ，得C₁的直角坐標方程：（x-3）²+（y-4）²=16，（2分）
即x²+y²-6x-8y+9=0
將x=ρcosφ，y=ρsinφ代入得C₁的極坐標方程為ρ²-6ρcosφ-8ρsinφ+9=0．（4分）
（2）解：∵曲線C₂的極坐標方程為ρ=4sinθ，
由ρ=4sinθ，得C₂的普通方程為：x²+y²-4y=0，（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-6x-8y+9=0\\{x^2}+{y^2}-4y=0\end{array}\right.$，得：6x+4y-9=0，（8分）
∴C₁、C₂的交點所在直線方程為6x+4y-9=0
∴其極坐標方程為：6ρcosθ+4ρsinθ-9=0．（10分）

點評 本題考查極坐標方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意直角坐標、極坐標互化公式的合理運用．