Question

如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，

，∥，且，，為的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在一點（不與兩點重合），使得∥平面?若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（Ⅰ）證明：

因為平面，平面，

所以.                                  

取的中點，連結，

因為底面為直角梯形，∥，，且，

所以四邊形為正方形，所以，且，

所以，即.                          

又，所以平面.                     

（Ⅱ）解：如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系．

則，，，，

所以，，．

因為平面，所以為平面的一個法向量．  

     設平面的法向量為，      

     由，得

     令，則，，

     所以是平面的一個法向量．    

     所以

     因為二面角為銳角，     所以二面角的余弦值為．   

（Ⅲ）解：假設在線段上存在點（不與兩點重合），使得∥平面．

      設，則，．

      設平面的法向量為，

由，得

令，則，，

      所以是平面的一個法向量．…12分

因為∥平面，所以，即，  

解得，

所以在線段上存在一點（不與兩點重合），使得∥平面，且．