Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{5}t+2}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），設(shè)直線l與x軸的交點為A，點B為曲線C上一動點．
（Ⅰ）求線段AB的中點P的軌跡的平面直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求點B到直線l的最短距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，將所給曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，然后，根據(jù)軌跡問題，確定其軌跡問題；
（Ⅱ）首先，求解圓心到直線的距離，然后，將所求的距離減去半徑即可得到最短距離．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），得
x²+（y-1）²=1，
∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{5}t+2}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴4x-3y-8=0，
令y=0，得到x=2，
∴A（2，0），
設(shè)點B的坐標(biāo)為（x₀，y₀），點P的坐標(biāo)為（x，y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2+{x}_{0}}{2}}\\{y=\frac{0+{y}_{0}}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x-2}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，①
又∵點B（x₀，y₀）在圓C上，
∴x₀²+（y₀-1）²=1，
將①代入，得
（2x-2）²+（2y）²=1，
∴（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$
∴線段AB的中點P的軌跡的平面直角坐標(biāo)方程：（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）∵圓心（0，1）到直線的距離為$\frac{|0-3×1-8|}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$=$\frac{11}{5}$，
∴點B到直線l的最短距離$\frac{11}{5}-1$=$\frac{6}{5}$．

點評 本題重點考查了直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式、圓的參數(shù)方程和普通方程的互化等知識，考查比較綜合和靈活，掌握軌跡問題的處理思路和方法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．