Question

10．已知函數(shù)f（x）=2^|x-a|+|x+1|，a∈R．
（1）若f（x）為偶函數(shù)，求a的值；
（2）若函數(shù)g（x）和f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且g（x）在區(qū)間[2，+∞）上是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用偶函數(shù)的定義，建立方程，即可求a的值；
（2）利用函數(shù)g（x）和f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求出g（x），g（x）在區(qū)間[2，+∞）上是減函數(shù)，y=|x+a|+|x-1|在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=2^|x-a|+|x+1|為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
∴2^{|-x-a|+|-x+1|}=2^|x-a|+|x+1|，
∴a=1；
（2）函數(shù)g（x）的圖象上取點(diǎn)（x，y），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（-x，-y），滿足f（x）=2^|x-a|+|x+1|，
∴-y=2^{|-x-a|+|-x+1|}，
∴g（x）=-2^|x+a|+|x-1|，
∵g（x）在區(qū)間[2，+∞）上是減函數(shù)，
∴y=|x+a|+|x-1|在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，
-2≤a≤-1，x＞-a，y=2x+a-1在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴-2≤a≤-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查偶函數(shù)的定義，函數(shù)圖象的對(duì)稱性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．