Question

如圖，李先生家住H小區(qū)，他工作在C科技園區(qū)，從家開車到公司上班路上有L₁、L₂兩條路線，L₁路線上有A₁、A₂、A₃三個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率均為

1

2

；L₂路線上有B₁、B₂兩個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率依次為

3

4

，

3

5

．
（1）若走L₁路線，求最多遇到1次紅燈的概率；
（2）若走L₂路線，求遇到紅燈次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；
（3）按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請(qǐng)你幫助李先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)分布即可得出；
（2）利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式及離散型隨機(jī)變量的期望計(jì)算公式即可得出；
（3）由于走路線L₁時(shí)服從二項(xiàng)分布即可得出期望，比較走兩條路的數(shù)學(xué)期望的大小即可得出要選擇的路線．

解答：解：（1）設(shè)“走L₁路線最多遇到1次紅燈”為事件A，包括沒有遇到紅燈和只遇到紅燈一次兩種情況．
則P(A)=

C

0 3

×(

1

2

)3+

C

1 3

×

1

2

×(

1

2

)2=

1

2

，
所以走L₁路線，最多遇到1次紅燈的概率為

1

2

．
（2）依題意，X的可能取值為0，1，2．
P(X=0)=(1-

3

4

)×(1-

3

5

)=

1

10

，P(X=1)=

3

4

×(1-

3

5

)+(1-

3

4

)×

3

5

=

9

20

，P(X=2)=

3

4

×

3

5

=

9

20

．
隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2
P	1 10	9 20	9 20

所以EX=

1

10

×0+

9

20

×1+

9

20

×2=

27

20

．
（3）設(shè)選擇L₁路線遇到紅燈次數(shù)為Y，隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布Y～B(3，

1

2

)，所以EY=3×

1

2

=

3

2

．
因?yàn)镋X＜EY，所以選擇L₂路線上班最好．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握二項(xiàng)分布列、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式及離散型隨機(jī)變量的期望計(jì)算公式及其意義是解題的關(guān)鍵．