Question

5．如圖1所示，直角梯形ABCD，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=2AD=4，E、F為線段AB、CD上的點(diǎn)，且EF∥BC，設(shè)AE=x，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖2所示）．
（Ⅰ）若以B、C、D、F為頂點(diǎn)的三棱錐體積記為f（x），求f（x）的最大值及取最大值時(shí)E的位置；
（Ⅱ）在（1）的條件下，試在線段EF上的確定一點(diǎn)G使得CG⊥BD，并求直線GD與平面BCD所成的角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，證明AE⊥面BCF，求得棱錐的高，再根據(jù)體積公式求三棱錐的體積，利用配方法即可得出結(jié)論．
（Ⅱ）可利用空間向量求解，求出平面BCD的法向量，利用向量的夾角公式求直線GD與平面BCD所成的角θ的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，平面AEFD⊥平面EBCF，AE⊥EF，
所以AE⊥面BCF，…（2分）
以B、C、D、F為頂點(diǎn)的三棱錐底面為△BCF，高為AE，
所以$f（x）=\frac{1}{3}x\frac{1}{2}（4-x）•4=\frac{2}{3}x（4-x）=-\frac{2}{3}{（x-2）^2}+\frac{8}{3}$，…（4分）
當(dāng)x=2時(shí)，$f{（x）_{max}}=\frac{8}{3}$，此時(shí)對應(yīng)的點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）中知EA、EF、EB兩兩互相垂直，以E為原點(diǎn)，以EB為x軸、EF為y軸、EA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
E（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，2，2），設(shè)G（0，y_o，0）
由CG⊥BD得$\overrightarrow{GC}•\overrightarrow{BD}=（2，4-{y_o}，0）•（-2，2，2）=0$，解得y_o=2．…（8分）
所以$\overrightarrow{GD}=（0，0，2）$，設(shè)平面BCD的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BD}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}-x+y+z=0\\ y=0\end{array}\right.$，
可取$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
所以sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{GD}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{2}$即為所求．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查三棱錐體積和線面角的求解．解題的關(guān)鍵是在求三棱錐體積時(shí)主要是高的求解這要充分分析題中條件找到高或‘等價(jià)的高'．