Question

2．?dāng)?shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁=1，b₂=4，{a_n}為等差數(shù)列，且a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n=2+（n-1）2ⁿ⁺¹
（1）求a_n與b_n；
（2）記數(shù)列{$\frac{{2}^{{a}_{n}}}{（_{n}+1）（_{n+1}+1）}$}的前n和為T_n，求滿足T_n≤$\frac{39}{120}$的最大n．

Answer 1

分析 （1）由a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2+（n-1）2ⁿ⁺¹，代入n=1與n=2求得a₂=2；從而確定a_n=n；再作差可得a_nb_n=（n-1）2ⁿ⁺¹-（n-2）2ⁿ=n•2ⁿ，從而求b_n=2ⁿ；
（2）化簡$\frac{{2}^{{a}_{n}}}{（_{n}+1）（_{n+1}+1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，從而利用裂項(xiàng)求和法求得T_n=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，從而解不等式即可．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁b₁=2，
故b₁=2，
當(dāng)n=2時(shí)，a₁b₁+a₂b₂=2+（2-1）2³，
即2+4a₂=2+8，
故a₂=2；
故數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
故a_n=n；
∵a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2+（n-1）2ⁿ⁺¹，
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=2+（n-2）2ⁿ，
∴a_nb_n=（n-1）2ⁿ⁺¹-（n-2）2ⁿ=n•2ⁿ，
∴b_n=2ⁿ；
（2）∵$\frac{{2}^{{a}_{n}}}{（_{n}+1）（_{n+1}+1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$
=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，
∴T_n=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$+…+（$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$）
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，
∴T_n≤$\frac{39}{120}$可化為$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$≤$\frac{39}{120}$，
即$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$≥$\frac{1}{120}$，
即2ⁿ⁺¹+1≤120，
故n+1≤6，
故n≤5；
故最大值為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了整體思想與分類討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用．