Question

5．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=4，a_n+1=a_n+2$\sqrt{{a}_{n}}$+1，則$\sqrt{{a}_{2015}}$=（　�。�

• A． 2014
• B． 2015
• C． 2016
• D． 2017

Answer 1

分析 通過變形可知$（\sqrt{{a}_{n+1}}）^{2}$=$（\sqrt{{a}_{n}}+1）^{2}$，利用a_n＞0可知數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以$\sqrt{{a}_{1}}$=2為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：依題意，a_n＞0，
∵a_n+1=a_n+2$\sqrt{{a}_{n}}$+1，
∴$（\sqrt{{a}_{n+1}}）^{2}$=$（\sqrt{{a}_{n}}+1）^{2}$，即$\sqrt{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{{a}_{n}}$+1，
∴數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以$\sqrt{{a}_{1}}$=2為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴$\sqrt{{a}_{2015}}$=2016，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．