Question

正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，將它沿高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為

2

，此時(shí)四面體ABCD的外接球的表面積為（　�。�

• A、6π
• B、

  15π

  4

• C、5π
• D、

  13π

  3

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專(zhuān)題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：三棱錐B-ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積．

解答： 解：根據(jù)題意可知三棱錐B-ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中，底面邊長(zhǎng)為1，1，

2

，
由題意可得：三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等，說(shuō)明中心就是外接球的球心，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心為O，外接球的半徑為r，
球心到底面的距離為1，
底面中心到底面三角形的頂點(diǎn)的距離為：

2

2

∴球的半徑為r=

( 3 2 )2+( 2 2 )2

=

5

2

．
外接球的表面積為：4πr²=5π
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間想象能力，計(jì)算能力；三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等，說(shuō)明中心就是外接球的球心，是本題解題的關(guān)鍵，仔細(xì)觀察和分析題意，是解好數(shù)學(xué)題目的前提．