Question

已知直線l₁的方向向量為

a

=（1，3），且過點A（-2，3），將直線x-2y-1=0繞著它與x軸的交點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個銳角α（tanα=

1

3

）得到直線l₂，直線l₃：kx-y-2k+3=0．（k∈R）．
（1）求直線l₁和直線l₂的方程；
（2）當(dāng)直線l₁，l₂，l₃所圍成的三角形的面積為3時，求直線l₃的方程．

Answer 1

考點：直線的一般式方程,直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：（1）由已知條件利用點斜率式方程能求出直線l₁的方程；設(shè)直線x-2y-1=0的傾斜角為β，則l₂的斜率k=tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

1 2 + 1 3

1- 1 2 • 1 3

=1，由此能求出l₂的方程．
（2）直線l₃：kx-y-2k+3=0，過定點A（2，3），由

3x-y+9=0 x-y-1=0

，得直線l₁，l₂的交點C（-5，-6），點A到l₂的距離為d=

|2-3-1||

2

=

2

．由

x-y-1=0 kx-y-2k+3=0

，得直線l₃，l₂的交點B（

2k-5

k-1

，

k-4

k-1

），由直線l₁，l₂，l₃所圍成的三角形的面積為3，得|BC|=3

2

，由此能求出l₃的方程．

解答： 解：（1）∵直線l₁的方向向量為

a

=（1，3），且過點A（-2，3），
∴直線l₁：y-3=3（x+2），整理，得3x-y+9=0．（2分）
將直線x-2y-1=0繞著它與x軸的交點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個銳角α（tanα=

1

3

）得到直線l₂，
設(shè)直線x-2y-1=0的傾斜角為β，B（1，0），
則l₂的斜率k=tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

1 2 + 1 3

1- 1 2 • 1 3

=1，
∴l(xiāng)₂的方程為：y=x-1，整理得x-y-1=0．（5分）
（2）∵直線l₃：kx-y-2k+3=0，即（x-2）k+（3-y）=0，
∴l(xiāng)₃過定點A（2，3），（7分）
由

3x-y+9=0 x-y-1=0

，得直線l₁，l₂的交點C（-5，-6），（9分）
點A到l₂的距離為d=

|2-3-1||

2

=

2

．（10分）
由

x-y-1=0 kx-y-2k+3=0

，得直線l₃，l₂的交點B（

2k-5

k-1

，

k-4

k-1

），
∵直線l₁，l₂，l₃所圍成的三角形的面積為3，
∴

1

2

×

2

×|BC|=3，解得|BC|=3

2

，
∴|BC|=3

2

=

( 2k-5 k-1 +5)2+( k-4 k-1 +6)2

解得k=

7

4

或k=

13

10

，
∴l(xiāng)₃的方程：7x-4y-2=0，（12分）
或13x-10y+4=0．（14分）

點評：本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．