Question

8．在矩形ABCD中，AB=5，AC=7，現(xiàn)向該矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P，則∠APB＞90°的概率為$\frac{5\sqrt{6}π}{96}$．

Answer 1

分析 由已知求出矩形的面積，以及使∠APB＞90°成立的P的對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積，利用幾何概型求值．

解答 解：由題意，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}=2\sqrt{6}$，矩形的面積為10$\sqrt{6}$，如圖
而使∠APB＞90°成立的區(qū)域?yàn)橐訟B為直徑的半圓，面積為$\frac{1}{2}π（\frac{5}{2}）^{2}=\frac{25π}{8}$，
由幾何概型公式得到向該矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P，則∠APB＞90°的概率為：$\frac{\frac{25π}{8}}{10\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{6}π}{96}$；
故答案為：$\frac{5\sqrt{6}π}{96}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何概型的概率求法；關(guān)鍵是求出滿足向該矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P，則∠APB＞90°的區(qū)域面積，利用公式解答．