Question

4．若在曲線f（x，y）=0（或y=f（x））上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切線，下列方程的曲線：①x²-y²=1；②y=x²-|x|；③|x|+1=$\sqrt{4-{y}^{2}}$；④y=3sinx+4cosx存在自公切線的是（　�。�

• A． ①③
• B． ①④
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 ①x²-y²=1 是一個(gè)等軸雙曲線，沒(méi)有自公切線；
②在x=$\frac{1}{2}$ 和 x=-$\frac{1}{2}$處的切線都是y=-$\frac{1}{4}$，故②有自公切線．
③結(jié)合圖象可得，此曲線沒(méi)有自公切線；
④此函數(shù)是周期函數(shù)，過(guò)圖象的最高點(diǎn)的切線都重合或過(guò)圖象的最低點(diǎn)的切線都重合，
故此函數(shù)有自公切線．

解答 解：①x²-y²=1 是一個(gè)等軸雙曲線，沒(méi)有自公切線；
②y=x²-|x|=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}，x≥0}\\{（x+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}，x＜0}\end{array}\right.$，在 x=$\frac{1}{2}$ 和 x=-$\frac{1}{2}$處的切線都是y=-$\frac{1}{4}$，
故②有自公切線；
③由于|x|+1=$\sqrt{4-{y}^{2}}$，
即 x²+2|x|+y²-3=0，結(jié)合圖象可得，此曲線沒(méi)有自公切線；
④y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=$\frac{3}{5}$，sinφ=$\frac{4}{5}$，
此函數(shù)是周期函數(shù)，
過(guò)圖象的最高點(diǎn)的切線都重合或過(guò)圖象的最低點(diǎn)的切線都重合，
故此函數(shù)有自公切線．
其中存在自公切線為②④．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 正確理解新定義“自公切線”，正確畫(huà)出函數(shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．