Question

3．已知圓H過點B（1，0）和點C（3，2），且圓心H在直線x+2y-6=0上．
（1）若直線1過點C，且被圓H截得的弦長為2，求直線1的方程；
（2）對于線段BH上的任意一點P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點M，N，M是線段PN的中點，求圓C的半徑r的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設圓心H（a，b），由圓H過點B（1，0）和點C（3，2），且圓心H在直線x+2y-6=0上，列出方程組，求出圓心坐標，從而求出圓半徑，進而求出圓的方程，再利用待定系數(shù)法求出直線方程，此時要注意分直線斜率存在和不存在兩種情況討論．
（2）設出點P，N的坐標，要把點M的坐標用其表示，把M，N的坐標代入圓的方程，利用方程組恒有角考考查半徑的取值范圍，但要注意P，N，M三點不能重合，即圓和線段BH無公共點．

解答 解：（1）設圓心H（a，b），
則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（a-1）^{2}+（b-0）^{2}}=\sqrt{（a-3）^{2}+（b-2）^{2}}}\\{a+2b-6=0}\end{array}\right.$，
解得a=0，b=3，∴H（0，3），
∴r=|HB|=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴圓H的方程為x²+（y-3）²=10，
設圓心H（0，3）到直線l的距離為d，
∵直線1過點C，且被圓H截得的弦長為2，
∴d=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-1}$=3，
當直線l垂直于x軸時，設直線方程為y-2=k（x-3），
則$\frac{|3k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=3，解得k=$\frac{4}{3}$，
∴直線l的方程為y-2=$\frac{4}{3}（x-3）$，即4x-3y-6=0．
綜上：直線l的方程為x=3或4x-3y-6=0．
（2）直線BH的方程為3x+y-3=0，設P（m，n），（0≤m≤1），N（x，y），
∵點M是點P，N的中占，∴M（$\frac{m+x}{2}，\frac{n+y}{2}$），
又M，N都在半徑為r的圓C上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+（y-2）^{2}={r}^{2}}\\{（\frac{m+x}{2}-3）^{2}+（\frac{n+y}{2}-2）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+（y-2）^{2}={r}^{2}}\\{（x+m-6）^{2}+（y+n-4）^{2}=4{r}^{2}}\end{array}\right.$，
∵該關于x，y的方程組有解，即以（3，2）為圓心，r為半徑的圓與以（6-m，4-n）為圓心，2r為半徑的圓有公共點，
∴（2r-r）²≤（3-6+m）²+（2-4+n）²≤（r+2r）²，
又3m+n-3=0，∴r²≤10m²-12m+10≤9r²對?m∈[0，1]成立，
∵f（m）=10m²-12m+10在[0，1]上的值域為[$\frac{32}{5}$，10]，
∴${r}^{2}≤\frac{32}{5}$且10≤9r²．
又線段BH與圓C無公共點，
∴（m-3）²+（3-3m-2）²＞r²對?m∈[0，1]成立，即r²＜$\frac{32}{5}$，
∴圓C的半徑的取值范圍是[$\frac{\sqrt{10}}{3}$，$\frac{4\sqrt{10}}{5}$]．

點評 本題主要考查直線的求法，考查圓的半徑的取值范圍的求法，考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．