Question

4．極坐標(biāo)系下，P為曲線$\sqrt{2}$rsin（θ-$\frac{π}{4}$）=a（a＞0）上的動(dòng)點(diǎn)，Q為曲線r=2sinθ上的動(dòng)點(diǎn)，若線段PQ長(zhǎng)度的最小值為$\sqrt{2}$-1，則a的值為$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 分別化直線和圓的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離，由圓心到直線的距離減去半徑為$\sqrt{2}$-1列式求得a的值．

解答 解：由$\sqrt{2}$rsin（θ-$\frac{π}{4}$）=a，得$\sqrt{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}rsinθ-\frac{\sqrt{2}}{2}rcosθ）=a$，即x-y+a=0．
由r=2sinθ，得r²=rsinθ，即x²+y²-y=0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：${x}^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{4}$．
由題意可知，線段PQ長(zhǎng)度的最小值為$\frac{|a-\frac{1}{2}|}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}=\sqrt{2}-1$（a＞0）．
解得：a=$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，考查了直線和圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．