Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，其中，e是自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）若在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍；

（2）當(dāng)，設(shè)，，若在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩根，再分離參數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究即可；

（2）要證即證，在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，即有兩個(gè)零點(diǎn)，，可得，設(shè)，則，，即證，，即當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性及函數(shù)的最值，即可得證.

解：（1），由題意可知，在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

即，只需函數(shù)和圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

，易知在上為減函數(shù)，且，

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；

所以，所以，又當(dāng)，，，，

要使在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則．

故的取值范圍為．

（2）易得，

在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且

有兩個(gè)零點(diǎn)，，

則，解得

于是

又，設(shè)則，因此，

要證，即證，

即當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)，，則

所以，為上的增函數(shù)，又，因此

于是，當(dāng)時(shí)，有，

所以，有成立，即，得證