Question

20．如圖，過拋物線C：y²=2px（p＞0）焦點F的直線與C交于 M，N兩點，直線x=4交拋物線C于 A，B兩點，點 M，N在直線x=4的同側(cè)．已知|AF|=5，四邊形AMNB的面積為$\frac{133}{8}$．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求直線MN的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出拋物線的焦點和準(zhǔn)線，由拋物線的定義，即可求得p；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線MN：x=my+1，代入拋物線方程，消去x，得到y(tǒng)的方程，運用韋達定理，對m討論，當(dāng)0≤m＜$\frac{3}{4}$時，將四邊形面積轉(zhuǎn)化為三個三角形的面積之和，解方程即可得到m，再討論當(dāng)-$\frac{3}{4}$＜m＜0，解得m，即可得到所求方程．

解答 解：（Ⅰ）拋物線C：y²=2px的焦點為（$\frac{p}{2}$，0），
準(zhǔn)線為x=-$\frac{p}{2}$，A的橫坐標(biāo)為4，
由拋物線的定義可得|AF|=4+$\frac{p}{2}$=5，
解得p=2；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線MN：x=my+1，
代入拋物線方程y²=4x，可得y²-4my-4=0，
即有y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=4$\sqrt{1+{m}^{2}}$，
當(dāng)0≤m＜$\frac{3}{4}$時，設(shè)AB與x軸交于E，
則S=S_△MNE+S_△AEM+S_△BEN
=$\frac{3}{2}$|y₁-y₂|+2（4-x₁+4-x₂）
=6$\sqrt{1+{m}^{2}}$+12-8m²，
=-8（m²+1）+6$\sqrt{{m}^{2}+1}$+20，
由S=$\frac{133}{8}$，則-8（m²+1）+6$\sqrt{{m}^{2}+1}$+20=$\frac{133}{8}$，
令t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，1≤t＜$\frac{5}{4}$，
則-8t²+6t+20=$\frac{133}{8}$，
解得t=$\frac{9}{8}$，即m=$\frac{\sqrt{17}}{8}$．故直線MN：x=$\frac{\sqrt{17}}{8}$y+1；
同理當(dāng)-$\frac{3}{4}$＜m＜0，可得m=-$\frac{\sqrt{17}}{8}$．
故直線MN：y=±$\frac{8}{17}$$\sqrt{17}$（x-1）．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，同時考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運用韋達定理，以及三角形的面積公式的運用，屬于中檔題．