Question

13．求曲線|x|+|y|=1在矩陣M=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\end{array}]$對應的變換作用下得到的曲線所圍成圖形的面積．

Answer 1

分析 將曲線|x|+|y|=1在矩陣M=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\end{array}]$對應的變換作用進行化簡，作出表示的曲線所圍成的圖形即可得到結論．

解答 解：設曲線|x|+|y|=1上（x₀，y₀）在矩陣M=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\end{array}]$對應的變換作用下得到的曲線對應點為（x，y），
∴$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\end{array}]$[$\underset{\stackrel{{x}_{0}}{\;}}{{y}_{0}}$]=[$\underset{\stackrel{x}{\;}}{y}$]，即x₀=x，y₀=3y，
代入|x|+|y|=1中得：|x|+|3y|=1，
當x≥0，y≥0時，方程等價于x+3y=1；
當x≥0，y≤0時，方程等價于x-3y=1；
當x≤0，y≥0時，方程等價于-x+3y=1；
當x≤0，y≤0時，方程等價于-x-3y=1，
其圖象為菱形ABCD，
則曲線|x|+|y|=1在矩陣M=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\end{array}]$對應的變換作用下得到的曲線所圍成圖形的面積為$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}$．

點評 此題考查了幾種特殊的矩形變換，確定出變換后的曲線方程是解本題的關鍵．