Question

18．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC⊥B₁D，BB₁⊥底面ABCD，E為線段AD上的任意一點（不包括A、D兩點），平面CEC₁與平面BB₁D交于FG．
（1）證明：AC⊥BD；
（2）證明：FG∥平面AA₁B₁B．

Answer 1

分析 （1）先證出BB₁⊥AC，AC⊥B₁D，即可證明AC⊥平面BB₁D，從而證出AC⊥BD；
（2）先證明CC₁∥平面BB₁D，得出CC₁∥FG，從而得出FG∥BB₁，再證出FG∥平面AA₁B₁B．

解答 解：（1）證明：四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵BB₁⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，
∴BB₁⊥AC；
又AC⊥B₁D，
BB₁∩B₁D=B₁，
∴BB₁?平面BB₁D，B₁D?平面BB₁D，
∴AC⊥平面BB₁D；
又BD?平面BB₁D，
∴AC⊥BD；
（2）四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CC₁∥BB₁，
CC₁?平面BB₁D，BB₁?平面BB₁D，
∴CC₁∥平面BB₁D；
又平面CEC₁∩平面BB₁D=FG，
∴CC₁∥FG，
∴FG∥BB₁；
又FG?平面ABB₁A₁，BB₁?平面ABB₁A₁，
∴FG∥平面AA₁B₁B．

點評 本題主要考查了空間中的直線與平面垂直、直線與平面平行的判定和性質的應用問題，也考查了空間想象能力和推理論證能力，是中檔題．