Question

13．已知函數g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上有最大值4和最小值1，設f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）根據二次函數的性質判斷g（x）的單調性，根據最值列出方程組解出a，b；
（II）化簡不等式，分離參數得k≤（$\frac{1}{{2}^{x}}$）²-$\frac{2}{{2}^{x}}$+1在[-1，1]上恒成立，設t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，利用換元法得出h（t）=t²-2t+1在[$\frac{1}{2}$，2]上的最小值即可得出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵g（x）的函數圖象開口向上，對稱軸為x=1，
∴g（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數，
故$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=1}\\{g（3）=4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1+b=1}\\{3a+1+b=4}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=0．
（Ⅱ）由已知可得f（x）=x+$\frac{1}{x}$-2，
∵不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，即2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$-2-k•2^x≥0在[-1，1]上恒成立，
∴k≤（$\frac{1}{{2}^{x}}$）²-$\frac{2}{{2}^{x}}$+1在[-1，1]上恒成立，
令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，則k≤t²-2t+1=（t-1）²恒成立，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
設h（t）=（t-1）²，則h_min（t）=h（1）=0，
∴k≤0．
∴k的取值范圍是（-∞，0]．

點評 本題考查了二次函數的性質，函數最值的計算，函數恒成立問題研究，屬于中檔題．