Question

2．若f′（x）是關于x的一次函數(shù)，且對一切x∈R，滿足x²f′（x）-（2x-1）f（x）=1．求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 首先，f′（x）=2ax+b，然后，根據(jù)所給等式進行化簡，即可得到相應的解析式．

解答 解：設f′（x）=2ax+b，
則f（x）=ax²+bx+c，a、b、c為常數(shù)
由x²f′（x）-（2x-1）f（x）=1得，
x²•（2ax+b）-（2x-1）（ax²+bx+c）=2ax³+bx²-2ax³-2bx²-2cx+ax²+bx+c
=（a-b）x²+（b-2c）x+c=1，
則c=1，b-2c=0，a-b=0，
則a=b=2c=2，
即f（x）的解析式為f（x）=2x²+2x+1．

點評 本題重點考查了函數(shù)的導數(shù)求解方法和法則，屬于中檔題．體會待定系數(shù)法在求解函數(shù)解析式中的應用．