Question

1．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為$\frac{28π}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是棱長(zhǎng)為2的正三棱柱，畫(huà)出圖形，
結(jié)合圖形求出該三棱柱的外接球的球心與半徑，即可求出外接球的表面積．

解答 解：根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是正三棱柱，
且三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，高也是2，
如圖所示；
設(shè)上下底面中心連線EF的中點(diǎn)為O，則O是外接球的球心，
則其外接球的半徑為OA₁，又設(shè)D為A₁C₁中點(diǎn)，
在直角三角形EDA₁中，EA₁=$\frac{{A}_{1}D}{sin60°}$=$\frac{1}{sin60°}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
在直角三角形ODA₁中，OE=$\frac{{AA}_{1}}{2}$=1，
由勾股定理得R=OA₁=$\sqrt{{（\frac{2}{\sqrt{3}}）}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$，
∴球的表面積為S=4π•${（\sqrt{\frac{7}{3}}）}^{2}$=$\frac{28π}{3}$．
故答案為：$\frac{28π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間幾何體中位置關(guān)系、球和正棱柱的性質(zhì)以及相應(yīng)的運(yùn)算能力和空間形象能力．