Question

11．已知圓心為C的圓經(jīng)過A（0，1）和B（3，4），且圓心C在直線l：x+2y-7=0上．
（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求過原點(diǎn)且與圓C相切的直線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)圓心坐標(biāo)為（7-2a，a），則（7-2a）²+（a-1）²=（7-2a-3）²+（a-4）²，求出a，可得圓心坐標(biāo)為（1，3），半徑為$\sqrt{5}$，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)過原點(diǎn)且與圓C相切的直線方程為y=kx，利用圓心到直線的距離為d=$\frac{|k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{5}$，求出k，即可求過原點(diǎn)且與圓C相切的直線方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓心坐標(biāo)為（7-2a，a），則（7-2a）²+（a-1）²=（7-2a-3）²+（a-4）²，
∴a=3，
∴圓心坐標(biāo)為（1，3），半徑為$\sqrt{5}$
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y-3）²=5；
（Ⅱ）設(shè)過原點(diǎn)且與圓C相切的直線方程為y=kx，
則圓心到直線的距離為d=$\frac{|k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{5}$，
∴k=-2或$\frac{1}{2}$，
∴過原點(diǎn)且與圓C相切的直線方程為y=-2x或y=$\frac{1}{2}$x．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．