Question

【題目】已知函數(shù)的定義域為，且存在實常數(shù)，使得對于定義域內(nèi)任意，都有成立，則稱此函數(shù)具有“性質(zhì)”

（1）判斷函數(shù)是否具有“性質(zhì)”，若具有“性質(zhì)”，則求出的值；若不具有“性質(zhì)”，請說明理由；

（2）已知函數(shù)具有“性質(zhì)”且函數(shù)在上的最小值為；當時，，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；

（3）已知函數(shù)既具有“性質(zhì)”，又具有“性質(zhì)”，且當時，，若函數(shù)，在恰好存在個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）具有，；（2）；（3）

【解析】

（1）假設(shè)函數(shù)具備性質(zhì)，代入即可求出的值；

（2）根據(jù)題意可知，再根據(jù)函數(shù)的最小值即可求出值域；

（3）由題得且，作出圖象，即可求出的取值范圍．

解：（1）假設(shè)具有“性質(zhì)”，

則恒成立，

等式兩邊平方整理得，，因為等式恒成立，

所以，解得；

（2）函數(shù)具有“性質(zhì)”則

又當時，，在單調(diào)遞減

當時，得：，

又得

當時，，在單調(diào)遞增

函數(shù)的最小值，得：

當時，，單調(diào)遞減

此時的值域為：

（3）既具有“性質(zhì)”，即，則函數(shù)為偶函數(shù)，

又既具有“性質(zhì)”，即，

且當時，

作出函數(shù)的圖象如圖所示：

函數(shù)，在恰好存在個零點

與在恰好有個交點

且

即的取值范圍為：.