Question

1．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥底面ABC，AB⊥AC，E分別是A₁B₁，CC₁的中點．
（Ⅰ）用基向量$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，$\overrightarrow{A{C}_{1}}$表示向量$\overrightarrow{DE}$；
（Ⅱ）若AB=AC=AA₁=1，求直線DE與平面AB₁C₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的分解和合成表示向量$\overrightarrow{DE}$．
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，利用向量的數量積求出線面間的正弦值

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{D{A}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}+\overrightarrow{{C}_{1}E}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}+（\overrightarrow{A{C}_{1}}-\overrightarrow{A{A}_{1}}）-\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_{1}}$
=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{A{A}_{1}}-\overrightarrow{A{B}_{1}}）+（\overrightarrow{A{C}_{1}}-\overrightarrow{A{A}_{1}}）-\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$
=-$\overrightarrow{A{A}_{1}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{A{B}_{1}}+\overrightarrow{A{C}_{1}}$
（Ⅱ）如圖所示建立空間直角坐標系，則點B₁（1，0，1）C₁（0，1，1）D（$\frac{1}{2}$，0，1），E（0，1，2）
設$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$為平面AB₁C₁的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$
因為$\overrightarrow{A{B}_{1}}=（1，0，1），\overrightarrow{A{C}_{1}}=（0，1，1）$則$\left\{\begin{array}{l}{x+z=0}\\{y+z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，則$\overrightarrow{n}=（1，1，-1）$
因為$\overrightarrow{DE}=（-\frac{1}{2}，1，-\frac{1}{2}）$，則$cos＜\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{DE}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{2}}{3}$
所以直線DE與平面AB₁C₁所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$

點評 本題主要考查空間向量的分解合成和空間直角坐標系在立體幾何中得應用，屬�？碱}型、中檔題．