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17．用放縮法證明：1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜2（n∈N+）

分析 利用放縮法，結(jié)合裂項(xiàng)求和，即可證明結(jié)論．

解答 證明：∵n≥2時(shí)，$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜1+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=2-$\frac{1}{n}$＜2，
n=1時(shí)，1＜2成立，
∴1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜2（n∈N+）

點(diǎn)評(píng) 本題考查放縮法，正確放縮、裂項(xiàng)求和是關(guān)鍵．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

3．已知f（x）=x2+4x，g（x）=$\frac{1}{3}$bx3-bx2-3bx+1，h（x）=g（x）+f（x），且函數(shù)h（x）在（0，h（0））處的切線與y=x+1平行，m，n是lnx-ax=0兩根，求證：h（mn）＞h（e2）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

4．函數(shù)y=|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+4|x-4|的最小值是8．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

5．若函數(shù)f（x）=k•cosx的圖象過點(diǎn)P（$\frac{π}{3}$，1），則該函數(shù)圖象在P點(diǎn)處的切線傾斜角等于$\frac{2π}{3}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

12．若復(fù)數(shù)z滿足|z-2|=|z-2i|，|z|=2$\sqrt{2}$，則z=2+2i或-2-2i．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．求曲線y=$\frac{1}{x}$在點(diǎn)（2，$\frac{1}{2}$）處的切線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

9．若sinα+cosα=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，α∈（0，π），則sinα-cosα的值為（　�。�
A．$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$B．$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$C．$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$D．$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2，3）與過點(diǎn)A（0，-3）的直線l平行，求該直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．設(shè)S為非空數(shù)集，且滿足：①2∉s；②若a∈S，則$\frac{1}{2-a}$∈S．證明：
（1）對(duì)一切n∈N*，n≥3，有$\frac{n}{n-1}$∉S；
（2）S或者是單元素集，或者是無限集．

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同步練習(xí)冊(cè)答案