Question

17．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=[f（x-$\frac{π}{12}$）]²，求函數(shù)g（x）在x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值，并確定此時x的值．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合具體的圖象進行確定其解析式；
（2）首先，結(jié)合（1）對所給函數(shù)進行化簡，然后，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性求解．

解答 解：（1）結(jié)合圖象，得
A=2，
$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{3}$，
∴T=$\frac{4π}{3}$，
∴$\frac{2π}{ω}$=$\frac{4π}{3}$，
∴ω=$\frac{3}{2}$，
∴y=2sin（$\frac{3}{2}$x+φ），
將點（-$\frac{π}{6}$，0）代入，得
2sin（-$\frac{π}{4}$+φ）=0，
∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{4}$），
（2）結(jié)合（1）f（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{4}$），
∴g（x）=[f（x-$\frac{π}{12}$）]²，
={2sin[$\frac{3}{2}$（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{4}$]}²，
=4sin²（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{8}$）
=4×$\frac{1}{2}$[1-cos（3x+$\frac{π}{4}$）]
=2-2cos（3x+$\frac{π}{4}$），
∴g（x）=2-2cos（3x+$\frac{π}{4}$），
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴3x∈[-$\frac{π}{2}$，π]，
∴3x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴cos（3x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，
∴cos（3x+$\frac{π}{4}$）=-1時，函數(shù)取得最大值，
此時，x=$\frac{π}{4}$，
最大值為4．

點評 本題重點考查了二倍角公式、三角函數(shù)的 圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．