Question

20．如圖，正方體ABC-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)F為A₁D的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面AFC；
（Ⅱ）求證：平面A₁B₁D⊥平面AFC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理只需證明直線A₁B平行平面AFC內(nèi)的直線FO即可；
（2）根據(jù)面面垂直判定定理只需證明AF⊥平面A₁B₁CD即可．

解答 證明：（1）連接BD交AC于點(diǎn)O，連接FO，
則點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)．
∵點(diǎn)F為A₁D的中點(diǎn)，∴A₁B∥FO．
又A₁B?平面AFC，F(xiàn)O?平面AFC，
∴A₁B∥平面AFC．
（2）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
連接B₁D．∵AC⊥BD，AC⊥BB₁，
∴AC⊥平面B₁BD，AC⊥B₁D．
又∵CD⊥平面A₁ADD₁，AF?平面A₁ADD₁，
∴CD⊥AF．
又∵AF⊥A₁D，
∴AF⊥平面A₁B₁CD．
∵AF?平面AFC．
∴平面A₁B₁CD⊥平面AFC，
即平面A₁B₁D⊥平面AFC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查空間想象能力，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理．