Question

11．設函數(shù)f_k（x）=x^k+bx+c（k∈N^*，b，c∈R），g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1）
（1）若b+c=1，且f_k（1）=g（$\frac{1}{4}$），求a的值；
（2）記函數(shù)f₂（x）在[-1，1]上的最大值為M，最小值為m，求M-m≤4時b的取值范圍；
（3）判斷是否存在大于1的實數(shù)a，使得對任意x₁∈[a，2a]，都有x₂∈[a，a²]滿足等式g（x₁）+g（x₂）=p，且滿足該等式的常數(shù)p的取值唯一？若存在，求出所有符合條件的a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得1+b+c=log_a$\frac{1}{4}$=2，從而解得；
（2）化簡f₂（x）=x²+bx+c，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，討論對稱軸以確定函數(shù)的最值，從而結(jié)合M-m≤4求b的取值范圍；
（3）化簡g（x₁）+g（x₂）=p為g（x₁）=p-g（x₂），從而可得[log_aa，log_a（2a）]⊆[p-log_aa²，p-log_aa]，從而由集合的包含關系得$\left\{\begin{array}{l}{p-2≤1}\\{1+lo{g}_{a}2≤p-1}\end{array}\right.$，從而解得．

解答 解：（1）∵b+c=1，且f（1）=g（$\frac{1}{4}$），
∴1+b+c=log_a$\frac{1}{4}$=2，
∴a=$\frac{1}{2}$；
（2）f₂（x）=x²+bx+c，
當對稱軸x=-$\frac{2}$≤-1，即b≥2時，
M=f（1）=1+b+c，m=f（-1）=1-b+c，
M-m=2b≤4，
解得b≤2，
∴b=2．
當對稱軸-1＜-$\frac{2}$≤0，即0≤b＜2時，
M=f（1）=1+b+c，m=f（-$\frac{2}$）=c-$\frac{^{2}}{4}$，
M-m=b+1+$\frac{^{2}}{4}$≤4，
解得-6≤b≤2，
∴0≤b＜2．
當對稱軸0＜-$\frac{2}$＜1，即-2≤b＜0時，
M=f（-1）=1-b+c，m=f（-$\frac{2}$）=c-$\frac{^{2}}{4}$，
M-m=1-b+$\frac{^{2}}{4}$≤4，
解得-2≤b≤6，
∴-2＜b＜0．
當對稱軸-$\frac{2}$≥1，即b≤-2時，
M=f（-1）=1-b+c，m=f（1）=1+b+c，
M-m=-2b≤4，
解得b≥-2，
∴b=-2．
綜上所述：b的取值范圍是[-2，2]．
（3）∵g（x₁）+g（x₂）=p，
∴g（x₁）=p-g（x₂），
又∵任意實數(shù)x₁∈[a，2a]，都有x₂∈[a，a²]，
∴[log_aa，log_a（2a）]⊆[p-log_aa²，p-log_aa]，
即[1，1+log_a2]⊆[p-2，p-1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{p-2≤1}\\{1+lo{g}_{a}2≤p-1}\end{array}\right.$，
又∵滿足該等式的常數(shù)p的取值唯一，
∴1+log_a2=2，
解得，a=2．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)應用及分類討論的思想應用，同時考查了集合的關系應用，屬于中檔題．