Question

7．已知x=-1是函數(shù)f（x）=x³-3x²-mx+10（m∈R）的一個極值點．
（2）求m的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[-4，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），因為x=1是函數(shù)的極值點，所以得到f'（1）=0求出m的值；
（2）求出f（x）的單調區(qū)間．研究函數(shù)在特定區(qū)間上的最值，比較極值點和端點值的大小即判斷最值．

解答 解：∵f'（x）=3x²-6x-m
又x=-1是函數(shù)f（x）=x³-3x²-mx+10（m∈R）的一個極值點．
∴f'（-1）=0
即3+6-m=0
解得m=9
（2）f'（x）=3x²-6x-9．
f'（x）=0．解得x=3或x=-1．
f'（x）＞0解得x＞3或x＜-1．即函數(shù)在（3，+∞）和（-∞，-1）上單調遞增，f'（x）＜0，解得-1＜x＜3，即f（x）在（-1，3）上單調遞減．
所以f（x）在[-4，3]的最大值為f（1）=-1．
f（-4）=-66
f（3）=-17
所以函數(shù)的最小值為-66．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)極值和單調性的能力，考查構造函數(shù)比較大小，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．