Question

（本題滿分15分）已知函數(shù),，且為

偶函數(shù)．設(shè)集合．

（Ⅰ）若，記在上的最大值與最小值分別為,求；

（Ⅱ）若對任意的實(shí)數(shù)，總存在，使得對恒成立，試求的最小值.

Answer 1

（1），（2），

【解析】

試題分析：先求出函數(shù)，利用函數(shù)為偶函數(shù)，對稱軸為，求出，由于二次函數(shù)，在區(qū)間上位減函數(shù)，在上為增函數(shù)，求出最大值和最小值,求出；第二步令，由x的范圍找出t范圍，因，得的最大值為，從題意分析：在上，總存在連個(gè)點(diǎn)，使得成立，只需證明在A上對任意的t成立即可；

試題解析：（1）為偶函數(shù)，所以．在區(qū)間上，

（2）設(shè) ， 所以的最大值為，依題意原命題等價(jià)于在上，總存在兩個(gè)點(diǎn) 即只需滿足在上 ，因?yàn)閷θ我獾?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071206035778517187/SYS201507120604047228190670_DA/SYS201507120604047228190670_DA.029.png">都成立，所以當(dāng)也成立，由（１）知 ；當(dāng)時(shí)，，

下面證明在上總存在兩點(diǎn)使得成立.

當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，

綜上所述，的最小值為.

考點(diǎn)：函數(shù)與不等式；