Question

7．設(shè)直線l與拋物線y²=4x相交于A，B兩點(diǎn)，與圓 （x-5）²+y²=9相切于點(diǎn)M，且M為線段AB中點(diǎn)，則這樣的直線l有（　　）條．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 無(wú)數(shù)條

Answer 1

分析 先確定M的軌跡是直線x=3，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，直線l有兩條；斜率不存在時(shí)，直線l有2條，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
相減得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
當(dāng)l的斜率存在時(shí)，利用點(diǎn)差法可得ky₀=2，
因?yàn)橹本�與圓相切，所以$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-5}$=-$\frac{1}{k}$，所以x₀=3，
即M的軌跡是直線x=3．
圓心（5，0）到直線的距離為2＜3，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，直線l有兩條；
斜率不存在時(shí)，直線l有2條；
所以直線l恰有4條，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線、圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．