Question

7．在三棱錐S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=$\sqrt{2}$，SA=SC=2．AC的中點為M，∠SMB的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，若S、A、B、C都在同一球面上，則該球的表面積為（　�。�

• A． $\frac{3π}{2}$
• B． 2π
• C． 6π
• D． $\sqrt{6}$π

Answer 1

分析 根據(jù)定義，先作出它的平面角，如圖所示．進一步分析此三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，找出其外接球半徑的幾何或數(shù)量表示，再進行計算．

解答 解：如圖所示：
取AC中點D，連接SD，BD，則由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，
∴∠SDB為S-AC-B的平面角，且AC⊥面SBD．
由題意：AB⊥BC，AB=BC=$\sqrt{2}$，得：△ABC為等腰直角三角形，且AC=2，
又∵BD⊥AC，故BD=AD=$\frac{1}{2}$AC，
在△SBD中，BD=$\frac{1}{2}×2$=1，
在△SAC中，SD²=SA²-AD²=2²-1²=3，
在△SBD中，由余弦定理得SB²=SD²+BD²-2SD•BDcos∠SDB=3+1-2×$\sqrt{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{3}$=2，
滿足SB²=SD²-BD²，∴∠SBD=90°，SB⊥BD，
又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．
以SB，BA，BC為頂點可以補成一個棱長為2的正方體，S、A、B、C都在正方體的外接球上，
正方體的對角線為球的一條直徑，∴2R=$\sqrt{3}×\sqrt{2}$，R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，球的表面積S=4$π×\frac{6}{4}$=6π．
故選：C．

點評 本題考查面面角，考查球的表面積，解題的關(guān)鍵是確定外接圓的半徑，屬于中檔題．